Phương trình trạng thái của dây dẫn

Đặt vấn đề

Đối với một dây dẫn treo lên hai cột với khoảng cột là λ, ở một điều kiện nào đó (nhiệt độ, tốc độ gió,..) thì sẽ tồn tại các thông số ứng suất σ, độ võng f, độ dài đường dây L, tỷ tải g tương ứng. Trong qúa trình làm việc điều kiện sẽ thay đổi thì các thông số này sẽ bị thay đổi theo. Người thiết kế phải tính toán lựa chọn sao cho:

  • Trong mọi biến đổi của thời tiết ứng suất  không được vượt quá giá trị cho phép vì như vậy sẽ làm hỏng dây dẫn;
  • Độ võng không được lớn quá, vì sẽ làm cho khoảng cách an toàn của dây bị vi phạm.

Để làm được việc này người thiết kế phải biết được quy luật biến đổi của ứng suất σ, độ võng f theo nhiệt độ và tốc độ gió thể hiện qua tỷ tải g. Quy luật biến đổi này chính là phương trình trạng thái của dây dẫn.

Phương trình trạng thái của dây dẫn

  • Giả thiết ở trạng thái m ta đã biết: nhiệt độ θm, dây dẫn có tỷ tải gm, ứng suất thì độ dài của dây dẫn trong khoảng cột theo công thức 11 là: Lm= λ+ (λ3.g2m)/(24.σ2m)
  • Khi nhiệt độ thay đổi từ θm sang θn thì chiều dài dây dẫn sẽ thay đổi bới một lượng bằng: ΔL1 = Lmα(θ– θm) ; trong đó α là hệ số giãn nở theo nhiệt độ của nguyên liệu cấu tạo dây dẫn, đơn vị là 1/độ.
  • Tương ứng với trạng thái m sang n thì ứng suất dây dẫn thay đổi từ σm sang σn và do yêu tố này chiều dài cũng bị thay đổi thêm một lượng nữa: ΔL2 = (Lm/E).(σn – σm) ; trong đó E là môđun đàn hồi của dây dẫn, đơn vị là kg/mm2 hay daN/mm2
  • Ở trạng thái n, chiều dài của dây dẫn trong khoảng cột theo công thức 11 là: Ln= λ+ (λ3.g2n)/(24.σ2n)
  • Độ dài Ln bằng tổng độ dài Lm cộng với các đoạn dài thêm ΔL1 và ΔL2 . Vậy ta có:

1

  • Trong tính gần đúng Lm, tức là coi chiều dài của dây dẫn trong khoảng cột bằng chiều dài khoảng cột (ví dụ λ = 400m, f = 12 m thì L = 400,96 m); khi đó có thể viết:

2

Đặt β – 1/E gọi là hệ số kéo dài đàn hồi.

Chia hai vế của phương trình trên cho β, đồng thời chuyển vế ta được:

Công thức 22a

Công thức 22a

  • Phương trình công thức 22a gọi là phương trình trạng thái của dây dẫn. Đó là phương trình cơ bản quan trọng trong tính toán cơ khí dây dẫn. Với phương trình trên, khi biết các thông số ở trạng thái m là thì có thể tính ra được  trong điều kiện mới với các thông số
  • Nếu hai điểm treo dây không cùng độ cao thì phương trình trạng thái sẽ là:
Công thức 22b

Công thức 22b

Trong đó θ = arctg Δh/λ, điều kiện θ < 140

  • Để giải phương trình công thức 22a ta đặt:

3

  • Ta có phương trình bậc 3 của σn: σn – (B/σ2n) = A hay σ3n – Aσ2– B = 0
  • Phương trình này được giải bằng phương pháp gần đúng để tìm σn
  • Khi đã biết được ứng suất σn và tỷ tải gn thì dễ dàng tính được độ võng fn  của dây dẫn theo công thức 10 trong điều kiện khí hậu mới: fn = (λ2.gn)/(8.σn)

Khoảng cột tới hạn của dây dẫn

Khái niệm chung

  • Ứng suất của dây dẫn thay đổi tùy theo điều kiện khí hậu và điều kiện phụ tải cơ giới tác động lên nó. Vậy trong một khoảng cột, khi nào thì dây dẫn có ứng suất lớn nhất hay nói cách khác lúc nào thì dây dẫn dễ đứt hơn cả. Để dây dẫn có thể làm việc được thì ứng suất s trong dây dẫn trong mọi trạng thái phải nhỏ hơn ứng suất cho phép σcp.
  • Việc xác định ứng suất σ cho mọi trạng thái của dây dẫn phải tiến hành trên cơ sở phương trình trạng thái đã nêu ở mục trên (Phương trình trạng thái của dây dẫn), trong đó cần chọn một trạng thái xuất phát ban đầu, mà thông thường chọn trạng thái ứng suất σ có thể lớn nhất. Trạng thái có thể đưa lại ứng suất lớn nhất là:
    • (i) Nhiệt độ môi trường tháp nhất, vì lúc đó dây dẫn có độ dài ngắn nhất ở trong một khoảng cột nhất định;
    • (ii) Phụ tải tác dụng lên dây dẫn lớn nhất (tương ứng với lúc gió to nhất: bão);
  • Hai trạng thái trên có thể xảy ra ứng suất lớn nhất. Ngoài ra còn trạng thái thứ ba: trạng thái nhiệt độ trung bình, ở đây có ứng suất không lớn như hai trạng thái trên nhưng trong trạng thái này ứng suất cho phép thấp hơn nên cũng có nguy cơ vượt ứng suất cho phép của nó.
  • Người ta quy định ứng suất cho phép ở các chế độ theo công thức sau [1a]: σcp = σben/Kat (Công thức 24). Trong đó:
    • σcp– ứng suất cho phép ở các chế độ; [daN/mm2]
    • σben– giới hạn bền kéo của dây; [daN/mm2]
    • Kat– hệ số an toàn; Kat = 2,5 ở chế độ cực đại; Kat = 4,0 ở chế độ nhiệt độ trung bình
  • Đối với trạng thái xuất phát này ta coi σ = σcp thì  khi đó ứng xuất tính được của tất cả các trạng thái khác sẽ thoản mãn điều kiện nhỏ hơn ứng suất cho phép.
  • Sự diễn biến của ứng suất trong một trạng thái nhất định phụ thuộc vào khoảng cột. Do đó chính khoảng cột là điểm xuất phát để xác định xem ứng suất vượt khung sẽ xảy ra trạng thái nào?
  • Khi thiết kế đường dây ta chọn được khoảng cột λ (m). Ta cần biết với khoảng cột này phải chọn trạng thái nào làm trạng thái xuất phát? Muốn vậy trước hết ta phải xác định được khoảng cột tới hạn λth.
  • Khoảng cột tới hạn λth xác định cho từng cặp trạng thái trong ba trạng thái ứng suất, ví dụ cặp trạng thái (i) và (ii), đó là khoảng cột mà ở đó muốn lấy trạng thái nào để làm trạng thái xuất phát cũng được; Còn λ < λth thì phải lấy trạng thái (i) hoặc (ii) và nếu λ < λth thì phải lấy trạng thái (ii) làm trạng thái xuất phát. Ta có ba khoảng cột tới hạn:
    • λ1th– khoảng cột tới hạn giữa trạng thái nhiệt độ trung bình và trạng thái nhiệt độ thấp nhất;
    • λ2th – khoảng cột tới hạn giữa trạng thái nhiệt độ thấp nhất và trạng thái bão;
    • λ3th – khoảng cột tới hạn giữa trạng thái nhiệt độ trung bình và trạng thái bão;

Khoảng cột tới hạn λ2th

  • Khoảng cột tới hạn λ2th là khoảng cột giữa hai trạng thái nhiệt độ môi trường thấp nhất và trạng thái bão, đây là hai trạng thái có thể xảy ra ứng suất lớn nhất. Để đảm bảo ứng suất cho phép trong hai trạng thái này ta có thể thực hiện một trong hai cách sau đây:
    • Lấy trạng thái bão làm trạng thái xuất phát, lấy ứng suất trạng thái này bằng σcp, nghĩa là ứng suất trong trạng thái bão được đảm bảo. Ta tính xem trong trạng thái nhiệt độ nhỏ nhất ứng suất diễn biến thế nào khi khoảng cột λ thay đổi σθmin = f1(λ).
    • Lấy trạng thái nhiệt độ thấp nhất làm trạng thái xuất phát, lấy ứng suất trạng thái này bằng σcp, nghĩa là ứng suất trong trạng thái nhiệt độ thấp nhất được đảm bảo. Ta tính xem trong trạng thái bão ứng suất diễn biến thế nào khi khoảng cột λ thay đổi σbao = f2(λ).
  • Cách tính là giải phương trình trạng thái sau khi cho λ biến đổi từ 0 đến ∞, cụ thể là:
Công thức 25

Công thức 25

Công thức 26

Công thức 26

Trong đó các thông số σθmin, gθmin là ứng suất và tỷ tải của trạng thái nhiệt độ thấp nhất, còn θbao và gb là ứng suất và tỷ tải của trạng thái bão, σcp là ứng suất cho phép.

  • Sau khi tính ta lập được đồ thị như trên hình 6
Hình 6. Đường cong biến thiên ứng suất theo khoảng cột

Hình 6. Đường cong biến thiên ứng suất theo khoảng cột

  • Từ hình 6 thấy rằng hai đường cong σθmin = f1(λ), σbao = f2(λ), cắt nhau ở điểm σcp.
  • Với đường cong σθmin = f1(λ), ta thấy khi λ > λ2th thì σθmin có giá trị thấp hơn giá trị cho phép, còn khi λ < λ2th thì σmin lớn hơn giá trị cho phép. Với đường cong σbao = f2(λ), ta thấy khi λ > λ2th thì σbao có giá trị lớn hơn giá trị cho phép, còn khi λ < λ2th thì σbao thấp hơn giá trị cho phép.
  • Như vậy nếu khoảng cột cho trước, khi thiết kế λ < λ2th để đảm bảo ứng suất trong mọi trạng thái không vượt giá trị cho phép ta phải chọn trạng thái nhiệt độ min làm trạng thái xuất phát để tính ứng suất và từ đó tính độ võng thi công vì  khí đó ứng suất trong trạng thái bão sẽ nhỏ hơn ứng suất cho phép. Còn khi λ > λ2th thì ta chọn trạng thái bão làm trạng thái xuất phát vì khi đó ứng suất trong trạng thái nhiệt độ min sẽ được bảo đảm nhỏ hơn giới hạn.
  • Khoảng cột tới hạn λ2th là giới hạn để lựa chọn trạng thái xuất phát. Khi λ = λ2th, có thể chọn tùy ý một trong hai trạng thái làm trạng thái xuất phát vì chúng có ứng suất bằng nhau.
  • Để tính khoảng cột tới hạn λ2th ta có thể dùng một trong hai công thức 25 hoặc 26, trong đó σθmin và σbao lấy bằng σcp, kết quả được:
Công thức 27a

Công thức 27a

  • Theo số liệu về điều kiện tính toán cơ học cho đường dây trên không (bảng 2), ta có: g2bao = g21+g22 ; g2θmin = g21, trong đó g1-tỷ tải do trọng lượng dây và g2 – tỷ tải do gió, thay vào công thức 27 ta được:
Công thức 27b

Công thức 27b

  • Khoảng cột tới hạn λ2th là khoảng cột ở đó ứng suất trong hai trạng thái nhiệt độ thấp nhất và bão bằng nhau và bằng ứng suất cho phép σcp
  • Sau khi tính được khoảng cột giới hạn λ2th ta lấy khoảng cách thực tế λ so với khoảng cột tới hạn.
    • Nếu λ > λ2th, ứng suất lớn nhất xảy ra trong trạng bão. Vậy ta phải lấy trạng thái bão làm trạng thái xuất phát, trong đó ứng suất bằng ứng suất cho phép để tính toán.
    • Nếu λ < λ2th thì ứng suất lớn nhất xảy ra trong trạng thái nhiệt độ thấp nhất và ta phải chọn trạng thái này làm trạng thái xuất phát để tính. Ứng suất xảy ra trong trạng thái này là ứng suất cho phép.
    • Khi λ = λ2th thì xuất phát từ trạng thái nào cũng được.

Khoảng cột tới hạn λ1th λ3th

  • Như đã trình bày mục trên, khi λ < λ2th ta lấy trạng thái nhiệt độ nhỏ nhất để làm trạng thái xuất phát, còn khi λ < λ2th ta lấy trạng thái bảo làm trạng thái xuất phát. Như vậy ứng suất trong dây luôn nhỏ hơn ứng suất cho phép (hình 7)
Hình 7. Đường cong biến thiên ứng suất theo khoảng cột trong xác định khoảng cột tới hạn

Hình 7. Đường cong biến thiên ứng suất theo khoảng cột trong xác định khoảng cột tới hạn

  • Từ hình 7 thấy rằng khi λ < λ2th thì ứng suất lúc bão bằng ứng suất cho phép, còn ứng suất khi nhiệt độ min thì nhỏ hơn; khi λ < λ2th thì ứng suất lúc nhiệt độ min bằng ứng suất cho phép, còn ứng suất khi bão nhỏ hơn.
  • Nếu không hạn chế về ứng suất khi trạng thái nhiệt độ trung bình thì chỉ cần tính dây dẫn theo λ2th là được vì ứng suất khi trạng thái trung bình nhỏ hơn các trạng thái bão và nhiệt độ min.
  • Tuy nhiên do ứng suất cho phép lúc nhiệt độ trung bình, đặt là σcptb nhỏ hơn trạng thái bão và trạng thái nhiệt độ min (xem công thức 24.
  • Để xét đến khả năng này ta tính ứng suất khi trạng thái nhiệt độ trung bình theo khoảng cột λ: σtb = f(λ). Đối với mỗi khoảng cột tới hạn ta sẽ lần lượt xây dựng hai quan hệ: σtb1 = f3(λ) và σtb2 = f4(λ), cụ thể như trình bày tiếp sau đây.
  1. λ1th – khoảng cột tới hạn giữa trạng thái nhiệt độ trung bình và trạng thái nhiệt độ thấp nhất:

  • Cho σtb1 = f3(λ), trạng thái xuất phát là trạng thái nhiệt độ min, ta có:
Công thức 28a

Công thức 28a

  • Cho σtb2 = f4(λ), trạng thái suất phát là trạng thái nhiệt độ trung bình, ta có:
Công thức 28b

Công thức 28b

    • Trong đó các thông số σθmin và gθmin là ứng suất và tỷ tải của trạng thái nhiệt độ thấp nhất, còn σθtb và gθtb là ứng suất và tỷ tải của trạng thái nhiệt độ trung bình, σcp là ứng suất cho phép khi nhiệt độ min, σcptb là ứng suất cho phép khi nhiệt độ trung bình.
  • Hai đường cong 28a và 28b cắt nhau tại một điểm, mà chiếu chúng trên trục hoành ta được khoảng cột tới hạn λ1th. Biểu thức để xác định λ1th bằng cách thay giá trị điểm cắt vào một trong hai phương trình trên, ví dụ phương trình 28a với σθtb = σcptb; λ = λ1 ta có:

4

    • Giải phương trình trên ta được:
Công thức 29

Công thức 29

λ3th– khoảng cột tới hạn giữa trạng thái nhiệt độ trung bình và trạng thái bão:

  • Cho σtb1= f3(λ), trạng thái xuất phát là trạng thái bão, ta có:
Công thức 30a

Công thức 30a

  • Cho σtb2= f4(λ), trạng thái suất phát là trạng thái nhiệt độ trung bình, ta có:
Công thức 30b

Công thức 30b

    • Trong đó các thông số σθtb, gθtb là ứng suất và tỷ tải của trạng thái nhiệt độ trung bình, còn σbao, gbao là ứng suất và tỷ tải của trạng thái bão, σcp là ứng suất cho phép khi bão, σcptb là ứng suất cho phép khi nhiệt độ trung bình.
  • Hai đường cong 30a và 30b cắt nhau tại một điểm, mà chiếu chúng trên trục hoành ta được khoảng cột tới hạn λ3th. Biểu thức để xác định λ3th bằng cách thay giá trị điểm cắt vào một trong hai phương trình trên, ví dụ phương trình 30a với σθtb = σcptb, λ = λ1th; ta có:

5

    • Giải phương trình trên ta được:
Công thức 31

Công thức 31

  • Khoảng cột tới hạn λ1th được xác định từ phương trình 28a với trạng thái xuất phát là trạng thái nhiệt độ min và đường cong của phương trình này  gọi là đường cong (c). Khoảng cột tới hạn λ3th được xác định từ phương trình 30a với trạng thái xuất phát là trạng thái bão và đường cong của phương trình này gọi là đường cong (d). Ta vẽ đường cong (c) và (d) lên cùng đồ thị λ2th và được thể hiện trên hình 8a Trên trục tung đặt ứng suất cho phép σcptb đối với trạng thái nhiệt độ trung bình và kẻ đường nằm ngang, đường này cắt đương (c) tại C và đường (d) tại D. Chiếu hai điểm C và D lên trục hoành sẽ được các giá trị khoảng cột λ1th, λ3th như trên hình 8a.
  • Tại điểm C, nếu lấy trạng thái nhiệt độ min làm trạng thái xuất phát thì ứng suất trong trạng thái nhiệt độ min và trạng thái nhiệt độ trung bình bằng ứng suất cho phép của hai trạng thái này. Nếu λ < λ1th thì ứng suất trong trạng thái nhiệt độ trung bình sẽ nhỏ hơn cho phép. Như vậy khi λ < λ1th ta lấy trạng thái nhiệt độ min để làm trạng thái xuất phát.
  • Tại điểm D, nếu lấy trạng bão làm trạng thái xuất phát thì ứng suất trong trạng thái bão  và trạng thái nhiệt độ trung bình bằng ứng suất cho phép của hai trạng thái này. Nếu λ > λ3th thì ứng suất trong trạng thái nhiệt độ trung bình sẽ nhỏ hơn cho phép. Như vậy khi λ > λ3th ta lấy trạng thái bão để làm trạng thái xuất phát.
  • Nếu λ < λ3th nhưng lớn hơn λ2th thì ứng suất trong trạng thái nhiệt độ trung bình sẽ lớn hơn ứng suất cho phép, do đó phải lấy trạng thái nhiệt độ trung bình làm trạng thái xuất phát. Như vậy khi λ1th < λ < λ3th thì lấy trạng thái nhiệt độ trung bình làm trạng thái xuất phát.
  • Tóm lại, trong trường hợp λ1th < λ2th < λ3th như trên hình 8 ta phải áp dụng trạng thái xuất phát và dùng công thức để tính ứng suất σx của trạng thái x có gx và θx như sau:
    • (i) Khi λ < λ1th, trạng thái xuất phát là trạng thái nhiệt độ min và công thức tính :
Công thức 32

Công thức 32

    • (ii) Khi λ1th < λ < λ3th, trạng thái xuất phát là trạng thái nhiệt độ trung bình và công thức tính:
công thức 33

Công thức 33

    • (iii) Khi λ < λ3th, trạng thái xuất phát là trạng thái bão và công thức tính :
Công thức 34

Công thức 34

  • Ngoài trường hợp vừa xét trên, có thể xảy ra các trường hợp khác như dưới đây .
    • Trường hợp λ3th < λ < λ1th (hình 8b:
      • Trong trường hợp này, khi λ < λ2th thì ứng suất trang trạng thái nhiệt độ trung bình luôn thấp hơn σCPtb, còn khi λ > λ2th thì ứng suất trong trạng thái nhiệt độ trung bình cũng luôn thấp hơn σCPtb. Do đó trong trường hợp này không phải tính đến λ1th và λ3th. Dây dẫn chỉ cần tính theo λ2th, tức là khi λ < λ2th thì lấy trạng thái nhiệt độ min làm trạng thái xuất phát, còn khi λ > λ2th thì lấy trạng thái bão làm trạng thái xuất phát.
Hình 8. Đường cong biến thiên ứng suất theo các loại khoảng cột

Hình 8. Đường cong biến thiên ứng suất theo các loại khoảng cột

    • Trường hợp không có λ1th, chỉ có λ2th và λ3th (hình 8c)
      • Trong trường hợp này khi λ < λ3th phải lấy trạng thái nhiệt độ trung bình làm trạng thái xuất phát, khi λ > λ3th phải lấy trạng thái bão làm trạng thái xuất phát, còn λ2th không có vai trò gì.
    • Trường hợp không có λ3th , chỉ có λ1th và λ2th (hình 8d)
      • Trong trường hợp này λ2th cũng không dùng đến, khi λ < λ1th thì phải lấy trạng thái nhiệt độ min làm trạng thái xuất phát, còn khi λ > λ1th thì lấy trạng thái nhiệt độ trung bình làm trạng thái xuất phát.

Xem thêm: Tính toán cơ học đường dây truyền tải trên không (Phần 1)

Hãy chia sẻ, nếu bạn cảm thấy bài viết có ích cho bạn bè !